在此记录高等数学中涉及的三类中值定理及其证明。
涉及函数的中值定理
${\bf N{\scriptsize OTE}}.$ 极值定理与介值的定理涉及实数完备性与 Bolzano–Weierstrass 定理的内容，超出一般高等数学的范围，在此不予列出。
${\bf T {\scriptsize HEROREM};1}.$ 极值定理
该定理分为两部分进行叙述：
${\bf T{\scriptsize HEROREM};1.1}.$ 有界性定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists, m,M \in \mathbb{R}$ 使得对 $\forall x \in [a,b]$ 有 $m \leq f(x) \leq M$。
${\bf T{\scriptsize HEROREM};1.2}.$ 极值定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists, c,d \in [a,b]$ 使得对 $\forall x \in [a,b]$ 有 $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$。
${\bf T {\scriptsize HEROREM};2}.$ 介值定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，记 $A=\min{(f(a),f(b))}$，$B=\max{(f(a),f(b))}$，则对 $\forall C \in (A,B)$ 均 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) = C$。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};2.1}.$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且有最大值 $M$ 及最小值 $m$，则对 $\forall \mu \in [m,M]$，$\exists \xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi)=\mu$。
${\bf T {\scriptsize HEROREM};3}.$ 零点定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a) \cdot f(b) = 0$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
这是介值定理的直接推论。
${\bf T {\scriptsize HEROREM};4}.$ 平均值定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且有 $a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b$，则 $\exists \xi \in [x_1, x_n]$ 使得 $f(\xi) = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n}$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
设 $f(x)$ 在 $[x_1, x_n]$ 中分别取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，则由介值定理，只需证明 $$ m \leq \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n} \leq M $$ 又，易得 $$ n \cdot \min_{i=1}^n f(x_i) \leq \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \leq n \cdot \max_{i=1}^{n}f(x_i) $$ 即 $$ m \leq \min_{i=1}^{n}f(x_i) \leq \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n} \leq \max_{i=1}^{n}f(x_i) \leq M $$ 证毕。
微分中值定理
${\bf L{\scriptsize EMMA};5.}$ 费马引理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $x_0 \in [a,b]$ 处可导且取极值，则 $f’(x_0)=0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
不妨设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值，则对 $\forall x \in {\rm U}(x_0, \delta)$，有 $$ f(x) - f(x_0) \leq 0 $$ 因此有 $$ f’+(x_0) = \lim{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0 $$
$$ f’-(x_0) = \lim{x \rightarrow x_0^-}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0 $$
又，由 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，有 $f’(x_0) = f’+(x_0) = f’-(x_0) = 0$。
证毕。
${\bf T{\scriptsize HEROEM};6}.$ 罗尔定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi \in (a,b)$，使得 $f’(\xi) = 0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
设 $f(a)=f(b)=A$，则易得 $\exists c \in (a,b)$ 使得 $f(c) \neq A$；否则，在 $(a,b)$ 内 $f(x)$ 是常函数，此时对 $\forall x \in (a,b)$ 总有 $f’(x)=0$ 成立。
又，由极值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 内必取得最大值与最小值。因为 $f(a)=f(b)$ 且 $f(x)$ 不是常函数，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内必取得极大值或极小值；不妨设 $f(x)$ 在 $x=\xi$ 处取得极大值，由费马引理，有 $f’(\xi)=0$ 成立。
证毕。
以下列出罗尔定理在开区间或无穷区间上的诸种推广形式，这些推广形式的证明方式大同小异，均是使用介值定理在开区间一侧重新构造出闭区间。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.1}.$ 半无界区间上的有界函数
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.1.1}.$ 设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，在 $(a, \infty)$ 上可导，且有 $f(a)=f(+\infty)=A\in\mathbb{R}$，则 $\exists \xi \in (a, +\infty)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.1.2}.$ 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 上连续，在 $(-\infty, a)$ 上可导，且有 $f(a)=f(-\infty)=A\in\mathbb{R}$，则 $\exists \xi \in (-\infty, a)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
在此仅证明 ${\bf C{\scriptsize{OROLLARY}};6.1.1}$。
若 $\exists x_0 \in (a,+\infty)$ 使得 $f(x_0)=f(a)=A$，则由罗尔定理，原命题立即得证；
否则，必然 $\exists b \in (a,+\infty)$ 使得 $f(b)=B\neq A$。不妨假设 $B>A$，则由介值定理，对 $\forall C \in (A,B)$，均 $\exists c_1 \in (a,b)$ 使得 $f(c_1)=C$。
此时，由 $f(+\infty)=A$，可知对于 $\epsilon=\dfrac{C-A}{2}$，$\exists X>a$ 使得对于 $\forall x > X$ 均有 $|f(x)-A|<\epsilon=\dfrac{C-A}{2}$；
展开上式，有 $$ \frac{3A-C}{2} < f(x) < \frac{A+C}{2} < C $$ 因此，取 $d > X$，则有 $f(d) < C$；由介值定理，则有 $c_2 \in (b,d)$ 使得 $f(c_2)=C$ 成立。此时有 $f(c_1)=f(c_2)=C$，由罗尔定理，原命题立即得证。证毕。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.2}.$ 半无界区间上的无界函数
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.2.1}.$ 设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，在 $(a, +\infty)$ 上可导，且有 $f(a)=f(+\infty)=\pm\infty$，则 $\exists \xi \in (a,+\infty)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.2.2}.$ 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 上连续，在 $(-\infty, a)$ 上可导，且有 $f(a)=f(-\infty)=\pm\infty$，则 $\exists \xi \in (-\infty, a)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$
在此仅证明 ${\bf C{\scriptsize{OROLLARY}};6.2.1}$。
${\bf C{\scriptsize OROLLARY};6.4}.$ 有界区间上的无界函数
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续可导，且 $\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=\pm \infty$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
${\bf P{\scriptsize ROOF}}.$