几项中值定理及其证明

在此记录高等数学中涉及的三类中值定理及其证明。

涉及函数的中值定理

NOTE.{\bf N{\scriptsize OTE}}. 极值定理与介值的定理涉及实数完备性与 Bolzano–Weierstrass 定理的内容,超出一般高等数学的范围,在此不予列出。

THEROREM  1.{\bf T {\scriptsize HEROREM}\;1}. 极值定理

该定理分为两部分进行叙述:

THEROREM  1.1.{\bf T{\scriptsize HEROREM}\;1.1}. 有界性定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,则 m,MR\exists\, m,M \in \mathbb{R} 使得对 x[a,b]\forall x \in [a,b]mf(x)Mm \leq f(x) \leq M

THEROREM  1.2.{\bf T{\scriptsize HEROREM}\;1.2}. 极值定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,则 c,d[a,b]\exists\, c,d \in [a,b] 使得对 x[a,b]\forall x \in [a,b]f(c)f(x)f(d)f(c) \leq f(x) \leq f(d)

THEROREM  2.{\bf T {\scriptsize HEROREM}\;2}. 介值定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,记 A=min(f(a),f(b))A=\min{(f(a),f(b))}B=max(f(a),f(b))B=\max{(f(a),f(b))},则对 C(A,B)\forall C \in (A,B)ξ(a,b)\exists \xi \in (a,b) 使得 f(ξ)=Cf(\xi) = C

COROLLARY  2.1.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;2.1}.

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续且有最大值 MM 及最小值 mm,则对 μ[m,M]\forall \mu \in [m,M]ξ[a,b]\exists \xi \in [a,b] 使得 f(ξ)=μf(\xi)=\mu

THEROREM  3.{\bf T {\scriptsize HEROREM}\;3}. 零点定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续且 f(a)f(b)=0f(a) \cdot f(b) = 0,则 ξ(a,b)\exists \xi \in (a,b) 使得 f(ξ)=0f(\xi) = 0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

这是介值定理的直接推论。

THEROREM  4.{\bf T {\scriptsize HEROREM}\;4}. 平均值定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续且有 a<x1<x2<<xn<ba < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b,则 ξ[x1,xn]\exists \xi \in [x_1, x_n] 使得 f(ξ)=i=1nf(xi)nf(\xi) = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n}

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

f(x)f(x)[x1,xn][x_1, x_n] 中分别取得最小值 mm 和最大值 MM,则由介值定理,只需证明

mi=1nf(xi)nMm \leq \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n} \leq M

又,易得

nmini=1nf(xi)i=1nf(xi)nmaxi=1nf(xi)n \cdot \min_{i=1}^n f(x_i) \leq \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \leq n \cdot \max_{i=1}^{n}f(x_i)

mmini=1nf(xi)i=1nf(xi)nmaxi=1nf(xi)Mm \leq \min_{i=1}^{n}f(x_i) \leq \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)}{n} \leq \max_{i=1}^{n}f(x_i) \leq M

证毕。

微分中值定理

LEMMA  5.{\bf L{\scriptsize EMMA}\;5.} 费马引理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,在 x0[a,b]x_0 \in [a,b] 处可导且取极值,则 f(x0)=0f'(x_0)=0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

不妨设 f(x)f(x)x0x_0 处取极大值,则对 xU(x0,δ)\forall x \in {\rm U}(x_0, \delta),有

f(x)f(x0)0f(x) - f(x_0) \leq 0

因此有

f+(x0)=limxx0+f(x)f(x0)xx00f'_+(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0

f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx00f'_-(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^-}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0

又,由 f(x)f(x)x=x0x=x_0 处可导,有 f(x0)=f+(x0)=f(x0)=0f'(x_0) = f'_+(x_0) = f'_-(x_0) = 0

证毕。

THEROEM  6.{\bf T{\scriptsize HEROEM}\;6}. 罗尔定理

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,在 (a,b)(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b)f(a)=f(b),则 ξ(a,b)\exists \xi \in (a,b),使得 f(ξ)=0f'(\xi) = 0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

f(a)=f(b)=Af(a)=f(b)=A,则易得 c(a,b)\exists c \in (a,b) 使得 f(c)Af(c) \neq A;否则,在 (a,b)(a,b)f(x)f(x) 是常函数,此时对 x(a,b)\forall x \in (a,b) 总有 f(x)=0f'(x)=0 成立。

又,由极值定理,f(x)f(x)[a,b][a,b] 内必取得最大值与最小值。因为 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(x)f(x) 不是常函数,故 f(x)f(x)(a,b)(a,b) 内必取得极大值或极小值;不妨设 f(x)f(x)x=ξx=\xi 处取得极大值,由费马引理,有 f(ξ)=0f'(\xi)=0 成立。

证毕。

以下列出罗尔定理在开区间或无穷区间上的诸种推广形式,这些推广形式的证明方式大同小异,均是使用介值定理在开区间一侧重新构造出闭区间。

COROLLARY  6.1.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.1}. 半无界区间上的有界函数

COROLLARY  6.1.1.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.1.1}.f(x)f(x)[a,+)[a, +\infty) 上连续,在 (a,)(a, \infty) 上可导,且有 f(a)=f(+)=ARf(a)=f(+\infty)=A\in\mathbb{R},则 ξ(a,+)\exists \xi \in (a, +\infty) 使得 f(ξ)=0f'(\xi)=0

COROLLARY  6.1.2.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.1.2}.f(x)f(x)(,a](-\infty, a] 上连续,在 (,a)(-\infty, a) 上可导,且有 f(a)=f()=ARf(a)=f(-\infty)=A\in\mathbb{R},则 ξ(,a)\exists \xi \in (-\infty, a) 使得 f(ξ)=0f'(\xi)=0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

在此仅证明 COROLLARY  6.1.1{\bf C{\scriptsize{OROLLARY}}\;6.1.1}

x0(a,+)\exists x_0 \in (a,+\infty) 使得 f(x0)=f(a)=Af(x_0)=f(a)=A,则由罗尔定理,原命题立即得证;

否则,必然 b(a,+)\exists b \in (a,+\infty) 使得 f(b)=BAf(b)=B\neq A。不妨假设 B>AB>A,则由介值定理,对 C(A,B)\forall C \in (A,B),均 c1(a,b)\exists c_1 \in (a,b) 使得 f(c1)=Cf(c_1)=C

此时,由 f(+)=Af(+\infty)=A,可知对于 ϵ=CA2\epsilon=\dfrac{C-A}{2}X>a\exists X>a 使得对于 x>X\forall x > X 均有 f(x)A<ϵ=CA2|f(x)-A|<\epsilon=\dfrac{C-A}{2}

展开上式,有

3AC2<f(x)<A+C2<C\frac{3A-C}{2} < f(x) < \frac{A+C}{2} < C

因此,取 d>Xd > X,则有 f(d)<Cf(d) < C;由介值定理,则有 c2(b,d)c_2 \in (b,d) 使得 f(c2)=Cf(c_2)=C 成立。此时有 f(c1)=f(c2)=Cf(c_1)=f(c_2)=C,由罗尔定理,原命题立即得证。证毕。

COROLLARY  6.2.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.2}. 半无界区间上的无界函数

COROLLARY  6.2.1.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.2.1}.f(x)f(x)[a,+)[a, +\infty) 上连续,在 (a,+)(a, +\infty) 上可导,且有 f(a)=f(+)=±f(a)=f(+\infty)=\pm\infty,则 ξ(a,+)\exists \xi \in (a,+\infty) 使得 f(ξ)=0f'(\xi)=0

COROLLARY  6.2.2.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.2.2}.f(x)f(x)(,a](-\infty, a] 上连续,在 (,a)(-\infty, a) 上可导,且有 f(a)=f()=±f(a)=f(-\infty)=\pm\infty,则 ξ(,a)\exists \xi \in (-\infty, a) 使得 f(ξ)=0f'(\xi)=0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

在此仅证明 COROLLARY  6.2.1{\bf C{\scriptsize{OROLLARY}}\;6.2.1}

COROLLARY  6.4.{\bf C{\scriptsize OROLLARY}\;6.4}. 有界区间上的无界函数

f(x)f(x)(a,b)(a,b) 上连续可导,且 limxa+f(x)=limxbf(x)=±\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=\pm \infty,则 ξ(a,b)\exists \xi \in (a,b) 使得 f(ξ)=0f'(\xi)=0

PROOF.{\bf P{\scriptsize ROOF}}.

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